Tag: convex-optimization-kkt
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【AI 核心深度 M1-030】解释次梯度与近端算子（proximal operator），以及它们在 L1 优化中的应用。（Explain Subgradients and Proximal Operators, and How Proximal Gradient Descent Optimizes Non-Smooth L1 Penalties）深度数理推导与工程落地解析
次梯度是凸函数不可导点的梯度集合；近端算子把’梯度步’与’正则项收缩’解耦，软阈值即 L1 的近端算子。
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【AI 核心深度 M1-026】定义凸集、凸函数，并说明凸性为什么重要。（Define Convex Sets and Convex Functions, and Explain Why Convexity Guarantees Global Optimality）深度数理推导与工程落地解析
凸集内任两点连线仍在集合内；凸函数在两点连线之上。凸问题的局部最优即全局最优。
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【AI 核心深度 M1-027】写出 KKT 条件，并说明互补松弛的含义。（Formulate the Karush-Kuhn-Tucker (KKT) Conditions and Explain the Physical Meaning of Complementary Slackness）深度数理推导与工程落地解析
KKT = 平稳性 + 原始可行 + 对偶可行 + 互补松弛；互补松弛说明’不起作用的约束乘子为 0’。
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【AI 核心深度 M1-028】什么是强对偶与 Slater 条件？对偶问题有什么用。（Define Strong Duality and Slater’s Condition, and Explain the Practical Utility of Dual Formulations）深度数理推导与工程落地解析
强对偶指原问题最优值等于对偶最优值；Slater 条件（存在严格可行点）是凸问题强对偶的充分条件。
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【AI 核心深度 M1-029】解释 L1 为什么产生稀疏解，而 L2 不会。（Explain Geometrically and Algebraically Why L1 Regularization Promotes Sparsity While L2 Does Not）深度数理推导与工程落地解析
L1 的约束区域是菱形，其顶点在坐标轴上；最优解易落在顶点 → 部分系数恰为 0。L2 是圆，无顶点。