Tag: science-depth
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【AI 核心深度 M1-036】定义最大似然估计（MLE），并给出一个完整例子。（Define Maximum Likelihood Estimation (MLE) with a Complete End-to-End Derivation）深度数理推导与工程落地解析
MLE 选择让观测数据出现概率最大的参数；对高斯似然求导即得样本均值与方差。
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【AI 核心深度 M1-037】定义 MAP 估计，并说明它与 MLE、正则化的关系。（Define Maximum A Posteriori (MAP) Estimation and Explain Its Exact Connection to MLE and Regularization）深度数理推导与工程落地解析
MAP 最大化后验 = 似然 × 先验；高斯先验的 MAP 等价于 L2 正则，Laplace 先验等价于 L1。
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【AI 核心深度 M1-038】解释偏差-方差分解，并写出期望泛化误差的分解式。（Explain the Bias-Variance Decomposition and Write the Decomposition for Expected Generalization Error）深度数理推导与工程落地解析
期望误差 = 偏差² + 方差 + 不可约噪声；模型复杂度上升降低偏差但抬高方差。
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【AI 核心深度 M1-039】什么是一致性与有效性？MLE 具备这两个性质吗。（Define Statistical Consistency and Asymptotic Efficiency, and Assess Whether MLE Satisfies Both）深度数理推导与工程落地解析
一致性指 n→∞ 时收敛到真值；有效性指达到 Cramér-Rao 下界。MLE 在正则条件下两者兼有（渐近）。
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【AI 核心深度 M1-041】解释 p-value 的准确含义，并指出最常见的误解。（Explain the Precise Definition of p-value and Clarify Its Most Prevalent Misconceptions）深度数理推导与工程落地解析
p-value = 在原假设为真时，观测到至少如此极端的统计量的概率。它不是’原假设为真的概率’。
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【AI 核心深度 M1-042】定义第一类错误、第二类错误、显著性水平与功效。（Define Type I Error, Type II Error, Significance Level (Alpha), and Statistical Power (Beta)）深度数理推导与工程落地解析
α = 弃真概率；β = 取伪概率；功效 = 1-β = 正确检出真实效应的概率。
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【AI 核心深度 M1-016】解释特征值、特征向量与奇异值分解（SVD）的几何含义。（Explain the Geometric Meaning of Eigenvalues, Eigenvectors, and Singular Value Decomposition (SVD)）深度数理推导与工程落地解析
特征向量是被矩阵线性变换后方向不变的向量；SVD 把任意矩阵分解为旋转-缩放-旋转。
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【AI 核心深度 M1-017】解释矩阵的秩、零空间、列空间，以及秩与可解性的关系。（Explain Matrix Rank, Nullspace, Column Space, and Their Role in Linear System Solvability）深度数理推导与工程落地解析
秩 = 线性无关列数 = 列空间维数；Ax=b 有解当且仅当 b 在列空间中。